「（理学の響宴） しゅんぽじおん」とは

執筆：大阪大学 教授 橋本幸士
大阪大学素粒子論研究室 
（大学院理学研究科 物理学専攻）

掲載元：パリティ　
Vol.33 No.05 2018-05

2017年11月8日午後5時半、大阪大学理学部。ついに理学の饗宴『しゅんぽじおん』で、その主題を「エントロピー」とするときがやってきた。

そもそも、ワインとチーズを楽しみながら、理学のキーワードを肴（さかな）にして、わいわい議論しようや、という会なのであるが、そこに「エントロピー」とかいう小難しいキーワードが現れて、はたしてワインを楽しむ余裕が出てくるのだろうか。

そんな不穏な雰囲気を感じながら、続々と研究者や大学院生が集まり始めた。

『しゅんぽじおん』も第4回を迎えたが、第1回「時間とは？」、第2回「カオスとは？」、第3回「生命とは？」と続いたお題に比べると、「エントロピーとは？」はかなり敷居が高い気もする。

「う～ん、今回のお題はエントロピーですからねぇ」

と、私は隣りにいつも座っている基礎理学研究センターのセンター長の豊田さんに話しかけた。

豊田さんは、「どうなるんでしょうねぇ、とりあえずワイン飲みましょうか」と、のんきな答えである。

そのときわれわれはまだ、今回の講演が「エントロピーって難しい」派と「エントロピーって簡単」派の対決になろうとは、まったく想像もしていなかった。

今回の講演者は、物理学者の湯川諭さんと、化学者の中野元裕さんである。おふたりがミーティングスペースに現れたので、「今日の順番、どちらが先にします？」と尋ねてみた。そう、そんなことすらあらかじめ決まっていない、ざっくばらんな会なのである。

いろいろと相談したところ、ワインの酔いが回る前に物理学者の湯川さんの数式をみておいたほうがよいのでは、という至極真っ当な意見が出て、湯川さんが先に話すことになった（あとで思い出してみても、この選択はまったく正しかったのである）。

物理学者の「エントロピー」

登壇者：湯川諭氏

物理学者、湯川諭さん
「エントロピーって、難しいですよね、いろんな定義があって」

「こんにちは、初めまして。宇宙地球科学専攻の湯川といいます。橋本さんからメールをいただきまして、今日はこんな機会をいただきましてどうもありがとうございます。すでにもういっぱい飲んでしまって、何杯かわかりませんけども。いくらでもいただきます」

湯川さんも、ちゃんとワインを飲んでいるらしい。素晴らしいスピーカーである。皆、質問しやすくなるだろう。

「あの、じつは僕、この会に今日は初めて来させていただきまして、どんな感じか全然わからなくて、タイトルも何もなしで出てきてます（笑）。統計物理学を専門にしてまして、まぁふだんは非平衡の基礎のほうから、パターンとか交通渋滞とか、古典的な基礎的なとこからゲテモノのほうまで『非平衡』というキーワードでいろいろやってます。今日は『エントロピー』というお題で、ということなんで、最近のわれわれの業界で発展してきたこととかを含めて、まとめて10枚くらいスライドをもってきたんですけど、えっと時間は何分でしたっけ？」

聴衆から「プラスマイナス15分」という声が飛ぶ。

そこに聴衆から「マイナスもあるんか」のツッコミあり（一同爆笑）。

「僕、統計物理学者なんですけど、エントロピーって何かやっぱりよくわからない。ですね。わりと皆さんそういう感じの印象あるかもしれませんけど、やっぱりあの統計物理学を研究してるっていってもやっぱりわかんなくって。まあよく考えるとわかんないから統計物理学を研究してるのかなっていう気もしないではなくって、高校のときとか確率とか全然わからなくて、わかんないから統計物理を始めたというような気もするんです（笑）」

湯川さんにそういわれると、エントロピーが感覚的にわからなくても、ちょっと救われる気がする。

「いずれにせよ、どういう面でわからないのかなあということをつらつら考えてみると、たぶんですね、定義がいっぱいある、ということが問題なんですね。『エントロピー』って一言でみんないうんだけれど、定義がいっぱいあって。1番スタンダードなやつが、学部の1年生2年生ぐらいで習う『熱力学エントロピー』ってやつで、平衡状態に外からなんか仕事を加えたり、準静的に変化させたりしながら、平衡状態を移動させるということをやります。そのあいだに、準静的にゆっくりやりながら平衡状態を保つということをやりながら熱の出入りを勘定してやって、温度で割ったやつを積分したら、それが基準状態に対するエントロピーという量を与える、という定義です。これはクラウジウス（Clausius）が最初にいい出した、たぶん1865年くらいの定義ですね」

湯川さんは冒頭のスライド〈図1〉を指さしながら定義を説明した。次のページには、さまざまな定義らしき式が並んでいる。

〈図1〉 湯川さんのスライド「熱力学的エントロピー」「統計力学的エントロピー」

「ところが、そのうち3年生になると統計力学を習います。そんとき、じゃあ熱力学で習ったエントロピーってどう定義しますかっていうと、全然似ても似つかない定義が山ほど出てくるんですね。たとえばこの最初の式。

この式を出したのはボルツマン（Boltzman）が多分最初くらいだと思うんですが、文献とか人によってはこの式はエントロピーじゃないといっている人もいます。何でかっていうと、これは一体問題の式だから、という意見です。f（Γ₁）というのは1粒子の気体分子のエネルギーの分布関数です。ボルツマンはそもそもボルツマン方程式という一体問題の運動を詳細に運動論で研究して、その過程で、あの熱力学第2法則のようなことを考えるためにこのH関数を定義しました。Hというのはf log f の期待値ですが、これが単調減少するといいました。でもボルツマンの最初の式って、この一体問題の式だから、物理系として1つの系をみたときに、多体でそれが本当に全体の正しいエントロピーかどうか、っていうのはよくわからないですね。その後で、ボルツマンは正しい

という有名な式を出してます。僕の共同研究者からもらったボルツマンのお墓の写真をみると、お墓にはこの有名な式が刻まれています」

お墓の写真に見とれる聴衆。

「Wというのは状態の数ですね。ミクロな立場の統計力学での、Wという勘定できる状態の数から、熱力学でいうエントロピーと対応関係があるんだ、というのを最初に出したのがボルツマンです」

みな、熱力学的なエントロピーと、統計力学的なエントロピーの式が等しい、という学部の頃に習ったことを思い出し、うなずいている。

「ギブス（Gibbs）も似たようなことをいってるんですが、多体系になっています。ボルツマンのもともとの話は、いわゆるミクロカノニカルアンサンブル、つまり、全エネルギーと体積と粒子数が保存しているときにWが勘定できて、それからSが定義できるっていうのをやったんですが、ギブスはもうちょっと一般的に、考えてる系の全体の分布関数を用いました。

つまり積分のこの引数はアボガドロ数個あって、これはエントロピーだと最初にいったのはギブスです。で、これはアンサンブルとは関係なくいつでも統計力学的に正しいので、ギブスがまあ一番最初に導入したということになります。1902年と書きましたが、これはギブスの教科書の出版年代で、一方ギブスがどの論文でいってるのか探したんですがわかりませんでした。このなかでもしご存知の人がいたら教えてください」

そこで聴衆から質問が入った。

「教科書で新しいことをいったっていう可能性もあるんですか？」

「あるかもしれないんですが、ちょっとそこは私にはわからなくって。ギブス論文選集とか洋書の古書とかもってるんですけど、そこにはこんな話は全然書いてなくて。1902年のは、有名な教科書ですね。いま、プロジェクト・グーテンベルクでpublic domainになってるんで、丸ごとダウンロードできます^1）。TeXで製版し直されていて、すごく読みやすくなっています」

それを聞いて、メモする人もちらほら。

「その後にフォン・ノイマン（von Neumann）が、量子力学で

っていう話を出しています。これは最近の統計力学物理の発展では関係があるんですが、フォン・ノイマンの1929年の論文ってたぶんドイツ語で書かれてるんですけど、ずーっと忘れられてたんです。ノイマンは量子系が純粋状態でも熱平衡に緩和する、ということを議論してて、それがずーっと忘れられていました。2010年に発掘されて英訳されたのが、プレプリントサーバに上がって、知られるようになりました^2）。

最近の統計力学のトピックの1つで『純粋状態でどうやって熱平衡に緩和するか？』という問題があります。波動関数を1個だけもってきたときに、それが時間発展して熱平衡状態になって、ということを議論するんですが、じつはフォン・ノイマンが見つけてやってた、っていう感じ。このとき、フォン・ノイマンは対応するエントロピーを2つぐらい出していまして、問題ごとにどのエントロピーを考えるべきかという論文が3つくらい出ているんです。そういうところにもじつはエントロピーの定義の多様性というのがみえてしまっていますね」

ふぅむ、エントロピーって一言でいっても、いろんな定義や見方があるんやな、そりゃなかなか感覚的にはとっつきにくいはずやわ、という感想が心をよぎる。

しかし、湯川さんはそこに畳み掛けて、

「ところがまだエントロピーっていうのはありましてね」と笑いながら、「公理論的エントロピー」の説明を始めた。

たまらず、「それってどんなことで役に立つんですか？」という禁断の問いを僕は発してしまった。

湯川さんはニコリと笑顔で
「それがねぇ、いろいろと使われているようなんですよ」と答える。

その後、議論は熱力学第2法則、シャノン（Shannon）の情報論的エントロピー、そして情報熱力学へとつながった。適切に物理系の情報量を知るには、適切なエントロピーの定義と使用法が必要なようである。

そこで「ゆらぎの定理」が言及されるに及んで、僕は、隣りに座っている豊田さんにこっそり話した。

「次の『しゅんぽじおん』のテーマは『ゆらぎ』ですな」

湯川さんの1時間に及ぶ議論が、ワインを注ぎながら行われて、「エントロピーって結局何だろう？」の言葉が会場のあちこちで聞こえる。

そこに立ち上がったのが、今日2人目の講演者、化学者の中野元裕さんであった。

化学者の「エントロピー」

登壇者：中野元裕氏

化学者、中野元裕さん
「エントロピーって、簡単ですよ。測れるんですもん」

「こんにちは、構造熱科学研究センターからやってきました中野と申します。構造熱科学研究センターというのは、じつは38年前に創立された研究室でして、一番最初、僕が学生で配属された頃には化学熱学実験施設っていう名前でした。そのファウンダーが関集三先生で、湯川先生は最新の話題をされてましたけれども、僕はこの創立者の関先生の時代にわかった昔話をさせていただこうかと思います（笑）」

中野さんのひょうひょうとしたしゃべりに引き込まれそうになった。エントロピーの長い歴史は、化学の測定の昔話でわかってしまうのか、と皆、耳をそばだてる。

「まず、熱容量っていうのは、化学のほうでのいい方で、物理の人たちはたいがい『比熱』っていいます。化学の人たちが比熱っていいたがらないのは、なんでかっていうと、比熱は熱じゃないじゃんっていう理由でして（笑）」

たしかに、比熱は熱の種類とはちゃうやんなぁ、と会場の人たちもうなずいている。

「熱って何かっていうと、ある場所にあったエネルギーが別の場所へ移動したときに、移動した差分のことですよね。熱容量っていうのは、ある物質がもともともってる物性値で、熱の移動とかなんとか関係なしにもともとあるものなんです。で、熱じゃないのに、比熱っていうのは気持ち悪いな、っていうことで化学の人たちは『熱容量』っていういい方を使います」

こんなところにも、分野の常識の違いが現れるんやね。

「で、実際に熱容量を測っちゃうと、エントロピーを実測できるんです！エントロピーは実験的に決定できる、ということです。今日は、湯川先生が式がいっぱいの解説をされましたが、僕の話はそれが測定ですぐみえるという話で……」 　

一同爆笑してしまった。湯川さんのさまざまなエントロピーの定義は、何だったんだろう？頭のなかがモヤモヤしつつも、中野さんの話にみるみる引き込まれてしまう。

「『エントロピー』ってこんなんか、っていうのが感覚的にわかってもらえればいいかなって思ってます。実生活上でのエントロピーをみてもらおうと思います」

会場から「おおっ」という声が上がる。「実生活上のエントロピー」って、魅力的な言葉や……。

「では、エントロピーの測り方を説明します。これは僕が4年生のときに使っていた熱量計です〈図2〉。断熱型という種類の熱量計で、原理は簡単です。熱の出入りがない状態でヒーターであるエネルギーを与えてやったときに、何度温度が上がったのかがわかれば、熱容量を計算することができる。そういうものすごい単純な理屈からできてます」

〈図2〉熱量計の構造図

「ここにぶら下がってますバケツのなかに熱容量を測りたいものを入れてやります。このバケツは、ヒーターと温度計のユニットにくっついているんですけど、そのユニットごと中空にナイロンテグスでぶら下げられてます。で、ここのヒーターでエネルギーを加えて温度計で温度の変化を読みとるわけです。そのときに熱の出入りがないようにするにはどうすればいいかということですが、熱が伝達するメカニズムとしては対流と伝導と放射があります。対流を遮断するには、まわりを真空に引いておけばいい。伝導っていうのは、十分に注意してリード線なんかを温度コントロールして温度差ができないようにしてやれば、ほぼ除くことができる。

あと、厄介なのは輻射なんですけれど、まわりに容器をつくって、容器の壁をバケツの壁と同じ温度にしてやれば、実質的に放射ではエネルギーを失わないということで遮断できます。外側の壁にヒーター巻いて、温度コントロールで『断熱制御』するんです。そうすると、電流で加えたジュール熱Qと温度変化ΔTが読みとれますから、 熱容量C_pは加えたエネルギーを温度差で割り算したもの、

というかたちで簡単に測れちゃうんです」

一同、静まり返った。反論なし（笑）。

「で、熱容量をずうーっと温度を変えながら測って、logTという横軸で、積分してやったのがエントロピーです。

ですから熱容量を1点1点下からずーっと計っていくと、簡単にエントロピーって測定できちゃうわけですよ。で、えっとこういう測定法で、『エントロピーってこれや』っていうたら終わりじゃないですか（笑）」

終わってしまった。みな顔を見合わせながら、ニヤニヤしている。

「昔から僕、本当にこれで計れてるのかなあ、これでいいのかなぁって思ってたんですけど、ちゃんと計れちゃうんですよねー。それをお見せしましょう」

中野さんはスライド〈図3〉を見せた。

〈図3〉 中野さんのスライド「エントロピーと微視的状態数」
文献3より。antiferromagnetic exchange interactionは、反強磁性交換相互作用。

「われわれの学生だった時代には大量のサンプルが必要で、このバケツの容積が14cm^3、サンプルが10gとか欲しかったんですね。だけど、いまは単結晶1個ね。ミリグラム、マイクログラム、っていうサンプルがあれば熱容量が計れる時代になってきました。非常にいい時代です。で、これは僕が4年生のときに計った熱容量です。僕は化学の人なのでちょっと化学っぽい物質を使いましたけれども、『クロムの3核錯体』といって、クロム金属イオンが1つの分子のなかに3個ほぼ正三角形に近いようなかたちで入ってる分子です。

クロムのイオンの上には電子が3個あって、スピン3/2をもってます。真ん中の酸素イオンで架け橋されてると、スピンのベクトルがどっちを向いたほうが居心地がいいっていうのが、変化します。交換相互作用っていいます。その結果、スピンのエネルギー準位がばらけてくるという現象が起こります。スピン準位がどんなふうにばらけてくるかということを、スライドの右に模式的に書いてます。まず（I）、スピンとスピンのあいだの相互作用が正三角形のとき、対称性が高いから、あんまりばらけません。それがね、（II）でちょっとゆがんで二等辺三角形になるとバラバラってもっと割れてきます。今度は（III）、2つの分子に相互作用が起こってしまいますと、割れます。これを、先ほど湯川さんにお見せいただいた統計力学の式にポッと入れてやったら、熱容量が計算できます。このグラフの実線が、計算結果ですね。んで、グラフのなかでポチポチポチって打ってあるのが、実測データです。みていただくとわかると思いますけど、正三角形になるよって割れた部分、それから二等辺三角形になって割れた部分、それから、最後の2つの分子間の相互作用で割れちゃった部分というのが全部、きれいにみえてきて、こんなかたちで熱容量がパーンと合っちゃいます。横軸は温度のlogなので、このグラフの上の面積がそのままエントロピーになってるんです。湯川さんの話のなかの、一番わかりやすいエントロピーですね、出ちゃいました」

会場は爆笑に包まれた。

「で、（III）のところの面積を積分で求めてやると、R log 2 っていう値が出てきます。これは何でしょうか。じつは、エネルギー準位が2つに分裂してる。熱エネルギーが大きくなってきたときに、そのエネルギー準位が区別がつかなくなって、縮重しているってみえているときに、そのときもっているエントロピーがR log 2だよ、微視的状態数が2になったんだよということがそのまま実測のエントロピーとしてみえているわけです。（II）のところまでを同じように積分するとR log 12に一致します。最後の（I）まで積分すれば、スピン3/2の4準位が3つあるってことで4³で64準位ありますから、R log 64になって、実験と一致します。なんかね、理論と合っちゃう！」

会場の盛り上がりが最高潮に達したとき、聴衆のなかに座っていた湯川さんが口を挟んだ。

「じゃあ、T＝0でのエントロピーがゼロだという、原点を決める問題は、実験ではどう決めるんですか」

中野さんは優しい声で厳しく答える。

「気体の状態のエントロピーは、ザッカー-テトローデ（Sackur-Tetrode）の式というのがあって、わかってるんですね。それで、気体の状態から温度が一番下に下がるまで、ぜーんぶ熱容量を測ります。実験で上から温度を下げていくときに潜熱とか全部測って、わかっているエントロピーの値から引いていってやると、温度ゼロではエントロピーがゼロ、って測れることになるんですね」

おお、わかるんや……。

その後、ガラスの転移でエントロピーが測れる話など、中野さんはいろいろなおもしろい実験例を教えてくれた。

でも聴衆はまず、エントロピーが美しく実験で測定できているという事実を大変楽しんだようで、その後の例の詳細は、ワインを飲んだ僕には記憶が薄れてしまった。『しゅんぽじおん』ではいつものことである。ワインとチーズが入っているのだから。

ただ「エントロピー」という深遠そうな話題も、理学の饗宴の舞台に乗ってしまえば、こんなふうに「美味しく」料理されてしまうのか、ということについては、参加者一同の共通の感想なのでは、と思う。次回はもっと難しい言葉をテーマにしてみるのもよいかも？　

「エンタルピーでいこか？！」の声は、無視されたらしい。

参考文献

1） J. W. Gibbs: Elementary Principles in Statistical Mechanics （Charles Scribner’s Son’s, 1902）;
プロジェクト・グーテンベルクのページはこちら：http://www.gutenberg.org/ebooks/50992.

2） J. von Neumann: Z. Phys. 57, 30（1929）; R.Tumulka（trans.）: Eur. Phys. J. H 35, 201（2010）; arXiv:1003.2133（2010）.

3） M. Nakano et al.: J. Phys. Chem. Solids 49,987（1988）

「（理学の響宴） しゅんぽじおん」とは

執筆：大阪大学 教授 橋本幸士
大阪大学素粒子論研究室 
（大学院理学研究科 物理学専攻）

掲載元：パリティ　
Vol.32 No.10 2017-10

2017年7月11日午後 5時半、大阪大学理学部。教育研究交流棟の3階に、議論好きの科学者が、再び、ぞろぞろと集まってきた。第1回『しゅんぽじおん』のおもしろさに味をしめた者たちだけではなく、新たに参戦する科学者たちも。これは、その実録である。

数学者が説く「カオスとは」

登壇者：盛田健彦氏

「私、コンピューター昔から苦手でね、カオスっていう分野を昔から研究しているにもかかわらず、コンピューターを使ったことがない」　

爆笑を誘いながら話を始めた盛田健彦さんは、大阪大学の数学者である。

数学者、盛田健彦さん

「若い人たちにいいたいのは、まず、苦手なものをもちましょう、とことん苦手でいけば、研究が開けるということです」

この言葉の真の意味を、後で知ることになるとは、この時点で誰も予想を していなかったはずだ。

「カオスっていうのは、ギリシャ神話の初めの神様の名前ですね。何もないところから、何かが出てくる、それがカオス」

盛田さんはホワイトボードに、カオスとは、についておもむろに書き始めた。

盛田さんがホワイトボードに残した、なぞの言葉

「カオスは、出口？入口？カオスは、始まり？終わり？直感的にいったら、始まりなんやけど、私の気持ちとしては、すべてのものはカオスで始まるんですよ。そして最後に、カオスに飲み込まれてなくなるんですよ。いいですか？」

一同、あぜんとして、盛田さんを見つめる。

「私が大学に入ったとき、山口昌哉先生のカオスの話を初めて聞いたんですよ。それから、力学系とか、エルゴード理論とか、そんなのをやってきました。当時の研究会では、いろんなカオスの話がありましたね。で、いまでも思い出すのは『BZ反応^＊1』。そう、こないだ、ニュースがありましたよね。水戸の高校生が、BZ反応が途中で終わったと思ってたら、しばらくたって、また始まった、って発見したんですよ」　

あー、ありましたねぇ、という声が会場に流れる。

「で、僕は数学者でしょ。数学者がそのニュースを聞いたとき、『あれ，何でいままでそんなこと誰もやらんかったんや？』っていう反応でしたよ。つまり、計算機で長い時間走らせたら、わかることですよね。でもじつは、昔は遅いパソコン使って計算してましたから、やらんかったんかもな、と。まあ、僕はコンピューター使いませんから、そういう見方です。昔からみんな、コンピューター使ってましたからね。僕は『リミット n→∞でがんばろう』と決めたんです」

なるほど、コンピューターを使わないというのは、真の無限大をとり扱うという意味だったのか。

「カオスの定義はじつは、本当は、ないんです。ある人は『無秩序』とよぶけど、そうではない。すべてのものを含んでいるから。カオスには 3つの条件があると考えてます。
第1に、シンプルで、何かあるぞと思わせるようなもの。人をひきつけるんだけど、やり始めるとたいへん、というやつね。たとえば、ローレンツアトラクター。あれだって、簡略化してああなっているわけです。いま思うと、気象なんて、どうしてあんな枠組みに乗るのか、不思議だなと思うわけです。簡略化していいものができると思ってやり始める、それが大事なんです。
2番目に、数値計算によって、時間発展の解が出てくるんやけど、うまくいかない。いっくらでも精度が必要になるんですね。まあ山口先生の言葉を使うと、『やっちゃいけないことをやりなさい』ですね」

会場が笑いに包まれる。

「想定外、ってやつですよ。ちょっと話がずれますけど、よく『ゼロで割っちゃいけない』っていいますよね。誰が割っちゃいけないっていいました？ （笑）それは想定外なだけです。想定内にすればいいだけですよね。カオスの話に戻ると、想定外というのは、 『初期値鋭敏性』ってやつです。初めちょっとずれるだけで、時間がたつとすごくずれるんです。そういうもんやから、数値実験をくり返すと、誤差ではなくてダイナミクスの性質が効いてくるわけです。
で、 3番目の性質。ある状態を選んだとしましょう。別の状態から、時間発展をさせて、この状態にどれだけでも近づけることができる。英語ではtopological transitivityといいます。
この3つのことが成り立つとき、『カオスっぽいな，英語では “chaotic”』といいます」

会場から質問が挙がる。

「3番目のやつがなかったら、なんか悪いことあります？」

「悪いことはないと思うけど、人間、奇妙に思うことがあるでしょ。たとえば、デジャブとか。怖いでしょ。怖いものみたさで研究したくなるわけですよ」

「3番目のやつとデジャブとどう関係があるんですか？（笑）」

「デジャブっちゅうのはね、どっかでこの景色みたことあるな、似てるな、ってやつですよね。これは、ある状態の十分近傍に行くっていうことじゃないですか」

会場は「なあるほど」の声とともに笑いの渦に包まれた。

「3番目のはカオスじゃないっていうことじゃないんですか？秩序があるじゃないですか」

「そう、そう。カオスは、無秩序じゃないんです。秩序があるんですよ。大事なのは、カオスっぽいということを特徴づける指標が、計算方法が、必要やということです。同じところに戻ってくるというのは、質のいいランダムネスなんですよ。たとえばブラウン運動はランダムですよね。 3次元空間でブラウン運動すると、どっか行ってしまう。そうやなくて、有界な空間でランダムをやるのがおもしろい。ほぼ同じ状態に戻ってくるわけです」

「この宇宙は、どうですか？」

「それは、宇宙がどうなっているかにもよりますよね。たとえば、宇宙が2次元のトーラスやったとしましょう。あるところから出発して、まっすぐ、角度が2πの有理数倍ではない方向に直線運動したとしましょう。この運動は、稠密（ちゅうみつ）にトーラスを埋めつくすんです。そして、任意の点の近傍に、いつか必ず、何回でも到達するんです。そやから、自分が有界でない世界にいたとしても、ちょっと次元の見方を変えると、有界になったりするんですよ」

おもしろい例をおみせしましょうね、と盛田さんはいいながら、ホワイトボードに式を書き始めた。

「この式で、 0≦x_n ≦1/2やったら『0』、 1/2＜x_n≦1やったら『1』、っていうルールで、 n番目の 0、1をどんどん生成していったとします。そしたら、世の中にあるあらゆる 0、1の列を再現できるんですよ。これ、テントマップのコーディングっていうんです。すべてのものが実現できてしまうんですよ。宇宙のすべてが実現されたら橋本先生は必要ないですよね」

突然、話を振られた私は思わず笑ってしまったが、後で思うと、否定しておくべきだった。時すでに遅し。

「しかも、与えられた数列がどこにあるかも計算できるんです。それが何回も現れるんですよ。デジャブですよ。つまり、これはさっきの『カオスっぽい』なんですね」

盛田さんのもち出されたシンプルな例は聴衆をうならせるのに十分だったようだ。

「僕が思うに、世界にはいろんな小さなカオスがいっぱいあって、そこから都合のいい部分、つまりあらゆる情報を含んでいそうな部分、をとり出せるような方法が、それが生物かもしれない。生物は、小さいカオスをつくりながら、それをとり出す。たとえば記憶なんていうのも、カオスをとり出しているという人もいますね。生物のカオスをとり出す能力を最大化しつつ生きているのが、われわれというものです」　

そうや、いや、そうやない、いや、そうや、と会場でいろんな意見がごった返すなか、大きな拍手で盛田さんの講演が終わった。

しかし、質問が相次ぐ。紀本さんが口火を切った。

「カオスの『形』を見つけるにはどうしたらええんですか」

「まあたいていの人は、コンピューターでやってみるんですね。でもコンピューターなくてもわかる数学者もいるんですよ」

「気象とかやと、初期値鋭敏性があるから、初めの状態についてアンサンブル平均とるわけですよね。そういうプロセスしかないんですか」

「エルゴード仮説でよく議論されましたけれど、全体的には安定なシステムであると仮定してやるわけですね。でも，どうしても小さくなりすぎると、実際の観測とか機械では限界がありますよね、数学的には限界はなくても。だから、平均化とか、そういうのは結局必要になるわけですね。カオスの性質をうまく利用して、情報をとり出すんです」

「ゆらぎの平均化は、プランク定数ですか？^＊2」

「いろいろな試みがあると思いますね。量子的なカオスとか」

　思い切って、僕は尋ねてみた。

「入口とか出口とか、盛田さんの頭のなかではどうなってるか教えてもらえません？（笑）」

「出口か入口かはわかんないんですよ。どっちもどっち、とは思っていますけど、たとえば、可逆系のほうが非可逆系よりも難しい。始まりか終わりかも、わかんないね」

ますますなぞである。出口、入口、参加者の頭のなかにはいろんな絵が浮かんでいたことだろう。

＊1　「ベロウソフ.ジャボチンスキー反応」のこと。ある種の化学反応で、振動現象が発生し、溶液の色がつぎつぎと移り変わる。カオス的なふるまいが観測される。

＊2　測定のふるまいが一定値にならず、一定値のまわりをゆらいださまざまな値をとる場合、その原因として、量子的なゆらぎの可能性もある。量子論では、測定は確率的になるからである。もし量子論的なゆらぎなら、量子力学を特徴づける定数であるプランク定数が、ゆらぎの大きさを決めているはずである、という趣旨の発言。

生物学者の「カオス」

登壇者：藤本仰一氏

数学者の、まったくコンピューターも使わない講演の魅力にわれわれ聴衆は度肝を抜かれたが、カオスというものの本質を共有するには十分な時間だった。

もちろん、すでに全員がワインで酔っ払っているので，本当に理解しているのかはわれわれ自身にはわからないのかもしれないが。

盛田さんの講演のすぐ後、フルスペックのパソコンをとり出してきたのは、大阪大学で理論生物学研究室を主宰している藤本仰一さんだ。

生物学者、藤本仰一さん

カンパーイ、の挨拶から、藤本さんはいきなり，

「私はカオスに恩恵を受けて研究をしてきました。もっというと、研究人生そのものがカオスだ、と思っています」

（一同爆笑）

「人生がいかにカオスかという話がメインですので。まずは、 2重振り子っていう典型的なカオス現象があります。これは、さっき盛田さんがカオスっぽい、という言葉の 3つの性質をおっしゃっていましたが、 2番目の性質を簡単にみることができます。初期値鋭敏性ですね」

それを聞いて、私はすぐに質問してしまった。

「盛田さんの 3番目の性質はみえますか？」

「2重振り子の先端にLEDをつけると、運動の軌跡がみえるんですよ。それを録画してパターンを記憶させれば、みえるんじゃないですかね」

藤本さんの答えは、実際的な感じがする。本当にカオスの実験をいろいろとやってきたのだろうなと想像させられた。

「まず、カオスの歴史を振り返ってみましょう。旧約聖書の創世記の記述、そして荘子の内篇。湯川秀樹のエッセイにも使われています。物理と数学におけるカオスとはどんなものか、みてみましょうか」

藤本さんはスライドをみせた。

藤本さんのスライド「自然科学と工学に現れるカオス」

「ローレンツの方程式は、もともとはたくさんの変数があったんですが、最終的に3つの変数で、きれいなカオスが現れることを示したんですね。非周期的。実際に流体の実験でも、70年代頃から確かめられ始めました。水面の高さとか、そのフーリエスペクトルがピークをもたず、なだらかになってくる。そういうものが発見されたんです。

化学反応でも、さっき盛田さんの話で出てきたようなBZ反応にもカオスが発見されます。大きなスケールでみると、地磁気が反転する現象もカオス。黒が磁気が現在と同じ方向の時期で、白が逆の方向の時期です。岩石の磁性を測って、判明するわけですね。周期的ではないことがわかります。

振り子でも、強制振動を入れると、カオス的になる。これが、振り子の系での初めてのカオスでしょうね。あと，シャーレの中にマメゾウムシを入れて、世代を経て個体数をみると、グラフがガタガタする。ロジスティック方程式の離散化によって、モデル化できるわけですね。

こういったカオスで重要だったのは、『不規則性』ですね。たとえばローレンツは、論文の概要に『非周期的な解は小さな摂動を与えると不安定である』と書いています。それをきっちり証明したのがローレンツの業績ですね。これが盛田さんの第2の点です。それともう1つ重要なのは、完全にランダムではないということです。70~80年代の研究でわかってきたのは、何となく秩序があるということです。

たとえば、富田和久先生は、“
irregularity” （コヒーレントな不規則性）という観点からカオスの意義を唱えた。さらに、津田一郎と金子邦彦は、『複雑系のカオス的シナリオ』（1996）で、カオスは分析では理解できない何かを含んでいる。分析よりも『見る』ことにより、また『構成する』ことにより 理解されるものではないか、という考え方も唱えています」

突然、会場から質問が。

「みるのと分析と同じちゃいますか」

すると、ほかの声が上がった。

「人によって、みると違う感想がある でしょ。分析は、誰がやっても同じ」

藤本さんはそれを肯定して、

  「そうです、俯瞰（ふかん）してみたり、切りとってみたり、いろいろみれますよね。出たり入ったり、ガリバートンネルみたいな。そこが、カオスのおもしろいところでもありますね。僕はそういう、いろんな空間がどう組み合わさって、そしてそれを眺めたらどうみえるんだろう、そういう思いで、研究を始めました」

次のスライドに話を移した藤本さんは、いくつかの典型的な例を語り始めた。

藤本さんのスライド「流れに沿った乱れの増大と秩序の形成：移流不安定性」

「カルマン渦ってご存知ですよね。流れのなかに棒が立っていると、棒の後ろでは乱れが増幅するのだけれど、それが渦の秩序的形成を生んでいる。飛行機からもみえますね。物理的には、簡単な方程式でこのような現象をつくることができます。実世界でも知られていて、たとえば交通流。料金所から出てくる車の流れにはノイズが含まれている。で、車のダイナミクスは、前の車がブレーキを踏むかどうか、という簡単な原理で決まってくる。それで、 最終的に渋滞という現象が発生する」

紀本さんがボソッと、「寺田寅彦の世界ですな」と口を挟んだ。

会場にうなずく人が多い。

「あるいはですね、バイオロジーの系では、作用が 1方向に及ぶ化学反応をみると、似たような方程式が出てきて、ノイズの増幅が起こり、秩序的な構造が形成される。流れによるノイズの増幅が秩序を形成するんです」

「あのぅ、交通流の例で、秩序が形成されたというのは、何をもってそうわかるんですか」

「車の密度をみると、初めは均一だったのに、その均一さからゆらぎが、だんだんと不均一になって、渋滞が形成されるんですよ。その渋滞を秩序ってよぶわけです。もちろん、われわれ人間には、渋滞はイヤなもんではありますが、このコンテクストでは秩序ですよね」

いろいろなカオスの現象を教えてくれた藤本さんは、ついに、自分の人生にそれを重ね始めた。

「僕が M1だったときに、指導教官から毎日、『君は何に興味があるのかね』っていわれ続けていたんです。それで僕は、『人と出会い，少し相互作用して、また別れる、そういうのに興味があります』といってしまったんですね。そしたら、指導教官は『うーん，詩だなぁ』っていうんですよね」

会場から笑いが起こる。

「これは、カオス的遍歴に似ているということに気づいたんですよね。あるときには巻きついてしばらく滞在するんだけど、そのうちそこから離れていく。また、違うアトラクターにしばらく滞在する。いつ動くのかは、予想が難しい。人生は、カオスですよね」

名言や……と会場の皆が感心。

そして、何と、藤本さん自身のカオス的人生が赤裸々に披露された。

「大学院生の頃から、世界のいろんな場所を僕はウロウロしてきました。世界中にいろんな民族がいることとか、素晴らしいと思っていたんです。中国の黄土高原の農村社会の情報伝搬力学とか、土壌侵食パタン形成の力学とか、現地に行って研究を試みました。そのあと、カオスのサイエンスとアートとの融合も、試みました。川面に数値計算で生成したカオスの映像を写したり、とか」

くしくも、その後は、藤本さんのアート作品の上映会へと突入していった、第2回『しゅんぽじおん』。

藤本さんの人生のカオス度の高さに、会場は心を奪われていた。

理学の饗宴『しゅんぽじおん』は、さまざまな専門性をかき混ぜて、新しいプリンシプルという秩序を生み出そうとする場である。じつは、それはカオスそのものである、と、盛田さんと藤本さんは教えてくれた。

次回もどうなるのやら、楽しみである。